گلوله‌ای با سرعت اولیه v0 از لبه پرتگاهی کاملاً عمودی به سمت بالا پرتاب می‌شود. اگر اندازه سرعت گلوله زمانی که در ارتفاع h از لبه پرتگاه قرار دارد، n برابر اندازه سرعت آن هنگامی‌که به‌اندازه 2h پایین‌تر از لبه پرتگاه در حال سقوط است باشد، ارتفاع اوج این گلوله را برحسب n و h بیابید. چه n هایی برای این مسئله قابل‌قبول است؟ از تمام اتلاف‌ها صرف‌نظر کنید. (مشابه سؤال حرکت‌شناسی دوره ۳۲ المپیاد دانش‌آموزی فیزیک)
جواب
در این مسئله کافی است که برای نقطه بالای لبه پرتگاه با ارتفاع h، نقطه‌ای بافاصله 2h و نقطه اوج معادلات انرژی سیستم بازنویسی شود. بدیهی است که در نقطه اوج سرعت گلوله صفر است.که به ترتیب معادلات انرژی عبارت‌اند از:
اکنون با توجه به پایستگی انرژی همه مقادیر E با یکدیگر برابرند. پس در معادلات فوق تنها v، H و E مجهول است و ازآنجایی‌که تعداد معادلات و مجهولات با یکدیگر برابرند، این سه معادله به‌سادگی قابل‌حل هستند. برای حل معادلات پیشنهاد می‌شود که ابتدا انرژی دونقطه‌ای که در آن گلوله سرعت گرفته با یکدیگر برابر قرار داده شوند و پس‌ازاین که مقدار سرعت برحسب nو h به دست آمد از معادله سوم استفاده شود.
در این قسمت از مسئله با توجه به عبارتی که برای مجذور سرعت به‌دست‌آمده می‌توان حدود n را تعیین کرد. مجذور سرعت همواره مثبت است پس عبارتی که محاسبه‌شده نیز باید همواره بزرگ‌تر از صفر باشد. لازم به ذکر است که مخرج کسر نیز نباید صفر باشد.
در ادامه حل مقدار انرژی نقطه اوج برابر با یکی از انرژی‌ها (مانند انرژی نقطه پایین پرتگاه) قرار داده می‌شود.
در این قسمت اندازه ارتفاع اوج (H) برحسب پارامترهای مسئله مشخص شد. ممکن است این سؤال به ذهن برسد که این عبارتی که به دست آمد باید در شرایط مسئله صدق کند. به‌عبارت‌دیگر با توجه به این‌که گلوله در ارتفاع h بالای لبه پرتگاه سرعتی داشته ارتفاع اوج باید بیشتر یا مساوی h باشد. (به نظر شما در چه شرایطی مساوی هم می‌تواند باشد؟) پس با توجه به این شرط می‌توان نوشت:
عبارت به‌دست‌آمده حاکی از یک گزاره همواره درست است. پس نتیجه می‌شود. شرطی از عبارت سرعت به دست آمد کافی است. دقت داشته باشید که سؤال با مقدار n یک نسبتی از دو اندازه را بیان کرده است. پس n همواره باید مثبت باشد. پس محدوده n به این فرم تعریف می‌شود.
شعله
