- مسئله
یک سطح منحنی در نظر بگیرید که به آن در راستای قائم نوری تابیده می شود. این سطح را کاملا صیقلی در نظر بگیرید و با توجه به قوانین نور هندسی اپتیک به سوالات زیر پاسخ دهید:
الف) معادله منحنی (f(x را در دو بعد در نظر بگیرید و سپس با توجه به تابش قائم نور زاویه باز تاب را برای هر نقطه بیابید.
ب) با توجه به قسمت قبل حالت سه بعدی این بازتاب چگونه است؟ آیا محاسبات الف در این حالت دچار تغییراتی می شوند؟
ج) در حالت خاص f(x)=ax2 را بررسی کنید. آبا همه پرتو های نور در یک نقطه جمع می شوند؟
د) معادله های دو بعدی همه منحنی هایی را بیابید که در آن یک نقطه کانونی وجود دارد.
ه) نشان دهید معادله یک نیم دایره در آنچه بدست آمده صدق نمی کند.
- جواب قسمت "د" و "ه"
جواب قسمت های قبل را از اینجا بخوانید: جواب قسمت های الف و ب ، جواب قسمت ج
در این قسمت حالت کلی معادله خط بازتابش را مطابق آنجه در قسمت های پیشین بدست آمد بررسی می کنیم. می دانیم که برای کانونی شدن باید همه پرتو های بازتاب شده یک نقطه مشترک داشته باشند، از این رو لازم است که همه معادلات عرض از مبدا یکسان داشته باشند. پس ما باید مقادیری برای (f(x بیابیم که در محاسبه معادله خط بازتابش مقدار عرض از مبدا مستقل از x اولیه باشد پس در نتیجه:
همانطور که گفته شد، مقدار عرض از مبدا را مقدار ثابت قرار می دهیم و نهایتا یک معادله دبفرانسیلی حل می کنیم. پس خواهیم داشت:
این جواب نشان داد که تنها سهمی ها هستند که می توانند نوری که قاوم بر آن می تابد را در یک نقطه کانونی کننند. حال با فرض این که تابع ما از مبدا بگذرد ( یعنی مقدار تابع به ازای صفر، صفر باشد) ، با پیدا کردم مقدار ثابت c1 داریم:
بنابر خواسته سوال به ازای معادله یک دایره به صورت زیر هم محاسبات را به طور مشابه انجام می دهیم:
با قرار دادن تابع نیم دایره در معادمه خط مذکور داریم:
با رسم این خطوط به نتایج جالبی میرسیم. مقدار کانون در محاسبات پیرامحوری برابر با نصف شعاع است و در تصویر متحرک زیر با رنگ سیاه مشخص شده است. با این محاسبان نشان دادیم که مقدار کانون در محاسبات کلی تر متغیر است ولی در حالت های پیرا محوری می توان آن را ثابت در نظر گرفت
