• مسئله

یک بلوک متقارن به جرم m1 دارای یک حفره نیم کروی به شعاع r است. روی یک سطح افقی هموار و در کنار دیواری مطابق شکل قرار دارد. جسمی به جرم mبدون اصطکاک ار مکان اولیه اش در درون حفره رها می شودو بیشینه سرعت بلوک را در طی حرکت معلوم کنید.

(منبع: برگزیده مسائل فیزیک روسیه، اپتیتود)

 

  • جواب 

در این سوال لازم است که مسیر رفت و برگشت را در نظر بگیریم. در ابتدای حرکت این جسم روی بلوک تا زمانی که جسم به مرکز حفره بلوک برسد. بلوک به علت وجود دیوار ثابت خواهد بود و حرکتی نمیکند ( مانند زمانی که بلوک کاملا به زمین چسبیده است). پس از این که جسم در حفره به سمت بالا می رود مقداری از سرعت افقی آن به بلوک منتقل می شود (انتقال تکانه). پس از این که جسم به بالای حفره رسید بلافاصله به سمت پایین دوباره حرکت می کند. در این مرحله از حرکت تا وقتی که جسم به مرکز حفره می رسد، سرعت جسم و بلوک خلاف یکدیگر هستند. پس واضح است که در زمانی که جسم در مرکز است (در مسیر بازگشت) بلوک بیشترین سرعت را دارد (می توانید در یک نقطه دلخواه را در نظر بگیرید و با نوشتن تکانه و انرژی مطمئن شوید). پس معادلات تکانه و انرژی را فقط برای نقطه آغاز و نقطه مرکز حفره ( در دو حالت رفت و برگشت) می نویسیم. برای شروع تنها یک معادله انرژی بین نقظه شروع و نقطه مرکز حفره در حالت رفت می نویسیم. پس خواهیم داشت:

حال برای لحظات عبور از مرکز حفره (رفت و برگشت) تکانه و انرژی می نویسیم. در این روابط v1 سرعت بلوک در زمان عبور جسم ار مرکز در مسیر بازگشت و v2 سرعت خود جسم در مسیر بازگشت در مرکز حفره است.

و نهایتا با حل این معادلات به این نتابج می رسیم (جواب سوال مقدار v2 است)