• مسئله

یک سطح منحنی در نظر بگیرید که به آن در راستای قائم نوری تابیده می شود. این سطح را کاملا صیقلی در نظر بگیرید و  با توجه به قوانین نور هندسی اپتیک به سوالات زیر پاسخ دهید:

الف) معادله منحنی (f(x را در دو بعد در نظر بگیرید و سپس با توجه به تابش قائم نور زاویه باز تاب را برای هر نقطه بیابید.

ب) با توجه به قسمت قبل حالت سه بعدی این بازتاب چگونه است؟ آیا محاسبات الف در این حالت دچار تغییراتی می شوند؟

ج) در حالت خاص f(x)=ax2 را بررسی کنید. آبا همه پرتو های نور در یک نقطه جمع می شوند؟

د) معادله های دو بعدی همه منحنی هایی را بیابید که در آن یک نقطه کانونی وجود دارد.

ه) نشان دهید معادله یک نیم دایره در آنچه بدست آمده صدق نمی کند.

  • جواب قسمت الف و ب:

در این جا با توجه به روابط ریاضی ساده به تعیین تکلیف زاویه بازتاب از روی منحنی می پردازیم. چرا که این روش در مسائل بازتاب کاربردی است و از نتیجه این قسمت می توان در مسائل مشابه دیگر استفاده کرد.

برای محاسبه مطابق شکل یک نقطه دلخواه از یک تابع را در نظر می گیریم و با توجه به مشتق منحنی در آن نقطه زاویه ای که خط مماس با جهت مثبت محور x ها می سازد را پیدا می کنیم. از آنجایی که زاویه بازتاب و تابش با هم برابرند ضمن استفاده از چند خط اضافه برای سهولت محاسبات می توانیم فرضیات مسئله را به این صورت بنویسیم:

با توجه به روابط بالا به راحتی و بدون استفاده از روابط پیچیده هندسی خواهیم داشت:

در این محاسبات به علت این که بعدا در روابط به عنوان معادله خط مورد استفاده قرار خواهند گرفت، سعی شده روایای مهم نسبت به قسمت مثبت محور x ها سنجیده شوند. ضمنا ممکن است جواب هایی با اختلاف 360 درجه هم بدست بیاورید که واضح است آنها هم درست و قابل استفاده هستند.

از طرفی برای قسمت ب به طور کاملا مشابه در هر نقطه از سطح چنین روابطی بر قرار است و در محاسبه برای سطوح متقارن و دوار همین محاسبات دو بعدی کافیست.

 

ادامه جواب...