• مسئله

در استوانه پلاستیکی بسیار طویل توپر با چگالی بار حجمی ρ و ρ- به نحوی بایکدیگر ادغام شده اند که مطابق شکل مرز های اولیه آنها به اندازه x با یکدیگر فاصله دارد. میدان الکتریکی در ناحیه مشترک این دو کره را بر حسب ضریب گذر دهی خلا و پارامتر های مشخص شده در شکل بیابید. (شکل سامانه را از نمای بالا نشان می دهد)

 

  • جواب

ابتدا طبق قانون گاوس با توجه به این که میدان شرایط تقارن استوانه ای برقرار است به صورت مجزا برای هر استوانه محاسبه می کنیم و سپس با دانستن اندازه میدان در فواصل دلخواه و اعمال شرایط برداری در هر نقطه مانند A در ناحیه بین دو استوانه میدان را پیدا می کنیم. طبق قانون گاوس می دانیم:

سپس یک فضای بسته در داخل استوانه در نظر می گیریم و اندازه میدان را پیدا می کنیم.

از طرفی می دانیم که میدان در این شرایط برای هر استوانه همواره در راستای شعاعی است پس به این صورت اندازه میدان های بدست آمده را تبدیل کمیت های برداری می شود:  

اکنون برای تطبیق نتایج با پارامتر های مسئله یک بردار d را تعریف می کنیم. که طبق هندسه مسئله برابر است با: (در این جا راستای افقی جهت i و عمودی هم j فرض شده است.) 

و نهایتا با تطبیق نتایج بدست آمده نتیجه می شود:

نکته جالب توجه این جا است که با A یک نقطه دلخواه در ناحیه مشترک است، ولی جواب بدست آمده کاملا مستقل از موقعیت نقطه A است.