- مسئله
دو جسم کوچک از نقطه A بدون سرعت اولیه از روی سطح شیبدار رها می شوند و روی دو مسیر بدون اصطکاک سر می خورند تا به نقطه C برسند. جسم اول از روی سطح شیبدار پایین می آید و جسم دوم از یک مسیر پله مانند بدون آن که سرعتش در نقاط شکستگی مسیر کاهش بیابد به نقطه C می رسد.
اگر در مسیر ذره دوم تنها یک شکستگی با شد چه مدت طول می کشد تا به زمین برسد؟
اگر درمسیر n شکستگی وجود داشت، جواب چه تفاوتی می کرد؟
برای این که هر دو ذره با هم به زمین برسند زاویه سطح شیبدار را بر اساس n بیابید.
- جواب
ابتدا برای ساده تر شدن محاسبات از یک تغییر متغیر استفاده می کنیم و با توجه به n و ارتفاع اولیه (H) ارتفاع هر پله را بدست می آوریم:
سپس با توجه با شتاب جسم روی سطح شیبدار و معادلات ساده سینماتیکی مدت زمان پایین آمدن ذره اول را پیدا می کنیم:
برای محاسبه زمان پایین آمدن جسم دوم زمان عبور در راستای افقی ( که با اندیس h نشان داده شده) و راستای عمودی ( که با اندیس v نشان داده شده) به طور جداگانه بررسی می کنیم:
به راحتی ارآنجایی که سرعت در راستای عمودی را چیزی جز شتاب گرانش تغییر نمی دهد برای کل مسیر ذره دوم داریم:
و در راستای افقی با توجه به این که سرعت عبور دره دوم از هر سطح اقفی با دیگری فرق می کند. یک معادله انرژی می نوبسیم و بعد ار معلوم شدن سرعت افقی عبور از هر پله زمان عبور را بدست آورده و نهایتا برای زمان صرف شده در کل مسیر افقی آن ها را با هم جمع می کنیم:
حال طبق آنچه در معادله 6 بیان شد، زمان های بدست آوده را با هم جمع می کنیم:
زمان حاصل دارای یک سری ریاضی واگراست. این به این معتا است که اپر تعداد پله ها را به بینهایت برسانیم. مدت زمان عبور ذره دوم هم بی نهایت می شود!
در قسمت بعد برای پیدا کردن زاویه سطح شیب دار زمان عبور جسم اول و دوم که طبق معادلات 5 و 14 مشخص شد را برابر هم قرار می دهیم و اندکی ساده سازی داریم:
برای حل واضح تر دو تابع fو g را تعریف میکنیم که مطابق آنچه نوشته شده f همان سری واگراست و g به نوعی حاصل کم کردن زمان عبوری دو ذره است.
و با حل این معادلات برای تعداد 1 تا 5 پله انداره زاویه بر حسب رادیان می شود:
و همینطور در حالت n پله ای داریم:
این سوال اقتباسی از یکی از مسائل المپیاد دانش آموزی فیزیک دوره 31 است.
