مثالی از محاسبه تغییرات چگالی سطحی بار الکتریکی

• مسئله

چگالی سطحی بار الکتریکی روی یک مکعب کوچک برابر با 20nC/m² است اگر n³ مکعب کوچک را در کنار هم به گونه ای بچینیم که تشکیل یک مکعب بزرگتر دهد، با فرض این که همه بار الکتریکی موجود تنها روی سطح مکعب بزرگ جمع می شود، چگالی سطحی مکعب بزرگتر را به ازای n=4 بیابید.

• جواب

برای حل این سوال ابتدا مقدار کل بار الکتریکی یک مکعب را حساب می کنیم. سپس با در نظر گرفتن تعداد کل مکعب ها با بدست آوردن بار مکعب بزرگ و در نظر گرفتن مساحت آن چگالی مکعب جدید را می یابیم( در محاسبات طول یال مکعب کوچک a و چگالی سطحی اولیه سیگما در نظر گرفته شده است)

ابتدا بار هم مکعب را می یابیم:

$$q=6 \sigma a^2$$

سپس در تعداد کل ضرب میکنیم تا بار کل بدست آید

$$Q= qn^3=n^3(6 \sigma a^2)$$

حال مساحت مکعب جدبد را می یابیم. دقت کنید از آنجایی که تعداد کل مکعب ها برابر با n³ است پس در هر یال مکعب جدبد n یال مکعب کوچک وجود دارد. پس خواهیم داشت:

$$S= 6(na)^2 =n^2(6 a^2)$$

و نهایتا با تقسیم بار کل بر سطح بدست آمده جواب نهایی را بدست می آوریم:

$$\sigma_{total}=\frac{Q}{S}=n \sigma$$

$$n=4 , \sigma=20nC/m^2$$

$$\rightarrow \sigma_{total}=80nC/m^2$$