• مسئله

مطابق شکل یک بار الکتریکی ساکن به فاصله L ار یک صفحه رسانای بسیار بزرگ قرار گرفته است. صفحه ی رسانا خنثی است. چگالی سطحی بار القا شده روی سطح رسانا را برحسب r بیابید. این مقدار به ازای r=0 چقدر است؟

​

  • جواب

پتانسیل الکتریکی در همه سطح رسانا صفر است، پس در واقع صفحه رسانا بک سطح هم پتانسیل برای بار +q محسوب می شود. حال برای حل با جایگزین کردن یک بار -q درست در مقابل +q و به فاصله L از سطح (مطابق شکل) می توانیم صفحه رسانا را حذف کنیم. با این جایگذاری، یک بار تصویری برای +q در نظر گرفته ایم، که شرط مسئله بعنی صفر شدن پتانسیل در صفحه را ارضا کند. 

از طرفی با این کار میدان الکتریکی حاصل از این دو بار کاملا مشابه زمانی که صفحه رسانا حذف نشده بود، به صورت موازی خط واصل دو بار در صفحه عمودمنصف دو بار است.

می دانیم انداره میدان ایجاد شده توسط یک بار برابر است با:

اکنون با توجه به رابطه بالا و هندسه مسئله اندازه میدان را در صفحه عمودمنصف دو بار بر حسب r پیدا می کنیم:

می دانیم که اندازه بردار میدان الکتریکی برخورد کننده به یک صفحه رسانا بسیار بزرگ برابر است با: (برای اثبات می توانید از قانون گوس استفاده کنید)

ینا بر این با باز نوسی روابط خواهیم داشت:

و نهایتا چگالی سطحی در r=0 هم برابر است با: