چرخش، تاو یا کرل، برداری است که بیانگر بیشینه چرخشی است که میدان برداری در واحد سطح دراد. به بیان ساده تر کرل معیاری برای تعیین چرخش میدان برداری در یک نقطه است. در روابط ریاضی کرل یک میدان برداری، به صورت حاصل ضرب خارجی عملگر دیفرانسیلی دل در یک میدان برداری تعریف می شود. برای مطالعه بیشتر در مورد عملگر دل می توانید به مطالب گرادیان و دیورژانس مراجعه کنید.
تعبیر هندسی کرل
تاو یک میدان برداری مانند v تعیین کننده مقدار چرخش بردار v حول نقطه مورد نظر است. از این رو کرل یا چرخش دو میدان برداری مشخص شده در شکل زیر برابر با صفر است.
اما هنگامی که میدان دارای چرخش باشد مانند دو میدان برداری زیر (الف و ب) دارای تاو در امتداد محور z است. که از روی قاعده دست راست نیز جهت آن ها معلوم می شود. فرض کنید که درکنار برکه ای هستید و یک چرخ دنده را روی آب شناور کرده اید (فرض کنید چرخ دنده روی آب شناور می ماند). حال اگر چرخ دنده شروع به چرخیدن کرد، مشخص می شود که در نقطه ای با تاو غیر صفر قرار دارد.
کرل در مختصات دکارتی
برای محاسبه کرل یک میدان بردارد در مختصات دکارتی ابتدا با توجه به تعریف کرل (تاو) داریم:
با محاسبه دترمینان فوق خواهیم داشت:
کرل در مختصات استوانه ای
محاسبه کرل در مختصات استوانه ای و همچنین کروی به سادگی مجاسبه آن در مختصات دکارتی نیست و شاید ان محاسبات را دیگر نتوان تحت عنوان "کرل به زبان ساده" بیان کرد. برای تعیین یک تابع برداری در مختصات استوانه ای ایتدا بنا بر تعریف می نویسیم:
حال رابطه مذکور را به این صورت بسط می دهیم و تا جایی که ممکن است ساده می کنیم:
اکنون با درنظر گرفتن چند نکته در مختصات استوانه ای به جواب می رسیم:
کرل در مختصات کروی
در این بخش هم مطابق آنچه در قسمت های قبل گفته شد، با نوشتن تعریف داریم:
حال عبارت بالا را ساده می کنیم:
و نهایتا با رعایت نکاتی در مختصات کروی و ضرب خارجی به جواب نهایی می رسیم
منابع:
مقدمه ریاضی کتاب الکترودینامیک گریفیث
همچنینیرای فهم بهتر نحوه محاسبه در مختصات های متفاوت مطالعه این دو فایل توصیه می شود:
عیسی توللی
