مسئله انبساط میله

• مسئله

یک میله نازک به طول L و جرم m وجود دارد.اگر با توان P به این میله حرارت دهیم، رابطه بین چگالی خطی این میله و زمان را بیابید. و نمودار آن را رسم کنید.

• جواب

طیق روابط گرما و تغییر دما داریم:

$$Q=mc\Delta \theta  ,  Q=Pt $$

و بنا بر  تعریف چگالی خطی :

$$L\lambda=m$$

و با توحه به انبساط خطی ابن میله بسیار نازک:

$$\Delta L=L_0\alpha \Delta \theta \rightarrow L=L_0(1+\alpha \Delta \theta)$$

اکنون با حل این سه معادله:

\[Pt=\frac{mc}{\alpha}(\frac{m}{L\lambda})\]

$$\Rightarrow \lambda=\frac{m^2c}{L_0(Pt\alpha+mc)}=\frac{\lambda_0 mc}{Pt\alpha+mc}$$

برای رسم نمودار باید حواسمان باشد که بعد از مدتی میله ذوب می شود و دیگر چگالی خطی برای آن تعریف نخواهد شد.