مسئله
مطابق شکل صفحه فلزی بسیار نازکی با چگالی سطحی سیگما دو حفره دایره ای شکل وجود دارد. مرکز جرم این صفحه فلزی را بیابید.
جواب
برای محاسبه مرکز جرم میتوان طبق پست های قبل یک المان گرفت و به وسیله انتگرال به نتیجه رسید. البته واضح است که این روش بسیار وقت گیر است. پس در این جا فرض می کنیم که یک صفحه بدون حفره داریم که روی آن دو جسم مسطح خارجی با جرم منفی قرار دارند. اکنون به راحتی پس از محاسبه مرکز جرم اجسام به حواب می رسیم.
اگر دستگاه مختصات رو مطابق شکل در نظر بگیریم واضخ است که مرکز جرم همه اجسام ( دو دایره با جرم منفی و صفحه فلزی بی حفره) روی محور x ها قرار می گیرد و مقدار فاصله مرکز جرم آنها روی محور x از مبدا برابر است با:
قرص دایره ای بزرگ (1):
$$x_{com_1}=d_2$$
قرص دایره ای دایره کوچک(2):
$$x_{com_2}=d_2$$
صفحه فلزی:
$$x_{com_p}=L_1/2$$
حال آوردن مقدار جرم هر کدام بر حسب چگالی سطحی (سیگما) بدست می آوریم:
$$m_p=L_1 L_2 \sigma$$
$$m_1=-\pi r_1^2 \sigma$$
$$m_2=-\pi r_2^2 \sigma$$
اکنون با توجه به فرمول مرکز جرم، فاصله مرکز جرم را از مبدا روی محور x پیدا میکنیم:
$$x_{com}=\frac{m_1d_1+m_2d_2+m_p(L_1/2)}{m_1+m_2+m_p}$$
$$\rightarrow x_{com}=\frac{\pi r_2^2 d_2+\pi r_1^2 d_1 -L_1^2 L_2/2}{\pi r^2_2+\pi r^2_2 -L_1L_2}$$
