- مسئله
یک ذره را در نظر بگیرید که مقابل آینه ای کروی و در نزدیکی محور آن آزادانه در حال حرکت است.مکان و سرعت تصویر این ذره را در لحظه ای که در مکان (y,x) سرعت (Vy,Vx) را دارد بیابید.
- جواب
برای حل اینگونه مسائل ابتدا مکان تصویر را بدست می آوریم و سپس با مشتق گرفتن از روابط بدست آمده سرعت را پیدا می کنیم.برای شروع حل فرض کنید تصویر در نقطه('y,'x) قرار دارد.
می دانیم:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$$
$$\frac{q}{p}=m$$
$$\rightarrow x'=q=\frac{fx}{x-f}$$
$$m=\frac{f}{x-f}$$
پس عرض نقطه بدست می آید:
( این رابطه تنها برای ما اندازه را مشخص می کند. یک منفی پشت رابطه می گذاریم تا به ما نشان دهد که زیر محور است)
$$y'=-my$$
$$y'=\frac{-fy}{x-f}$$
(از این رابطه می توان فهمید که عرض مختصات تصوبر وابسته به طول مکان جسم است ولی عرض مکان خود جسم وابسته به طولش نیست!)
در نتیجه مختصات تصویر به این صورت است:
$$(\frac{fx}{x-f},\frac{-fy}{x-f})$$
اکنون نسبت به زمان از آن مشتق می گیریم:
$$(\frac{fv_x(x-f)-fx(v_x)}{(x-f)^2},\frac{-fv_y(x-f)+v_xfy}{(x-f)^2})$$
در نتیجه سرعت تصویر هم بدست می آید:
$$(\frac{-f^2v_x}{(x-f)^2},\frac{-fv_y(x-f)+v_xfy}{(x-f)^2})$$
