مسئله

یک مهره روی یک منحنی قرار دارد و قرار است توسط میله ای مطابق شکل به صورت مستقیم در میدان گرانشی زمین به مبدا مختصات حرکت کند.

الف) اگر معادله سهمی برابر به (y=f(x باشد مدت زمان را بیابید

ب) اگر مسیر یک سهمی به فرم y=kx2 باشد (k>0) این زمان چقدر است. مشتق مجذور زمان بر حسب x را بیابید و حواب را تفسیر کنید.

ج)اگر مطابق شکل مهره روی یک دایره به شعاع R باشد چقدر طول میکشد.مشتق مجذور زمان بر حسب x را بیابید و حواب را تفسیر کنید. چه نتیجه ای می گیرید؟

جواب

ابتدا با توجه به هندسه سوال روابط مثلثاتی زاویه با افق را می نویسیم.از طرفی به راحتی شتاب این سطح شیب دار را پیدا می کنیم و با توجه به روابط سینماتیک زمان را در حالت کلی بدست می آویم:

برای قسمت ب و ج هم با جایگذاری معادله منحنی در رابطه قبل زمان را بدست می آوریم و با مشتق گیری به خواسته سوال می رسیم. در حالت سهمی عبارت مشتق متناسب با x است یعنی اگر بخواهیم ذره کمترین زمان را داشته باشد باید در مبدا قرار بگیرد که این درست نیست ولی می فهمیم که هر قدر ذره به مرکز نزدیک تر باشد سریع تر می رسد. در قسمت ج با ساده کردن جواب مشخص می شود که این عبارت برابر صفر است یعنی در هر x مقدار زمان ثابت است!