مسئله پرتابه در هواپیما

مسئله 

یک هواپیمای بزرگ با سرعت v به سمت راست حرکت می کند. پسر بچه ای می خواهد در داخل هواپیما توپی را با سرعت v_0و با زاویه ای دلخواه پرتاب کند.

الف) این پسر بچه با په زاویه ای باید توپ را پرتاب کند تا از دید خودش برد بیشینه شود.

ب)این پسر بچه با په زاویه ای باید توپ را پرتاب کند تا از دید ناظری که در روی زمین قرار دارد برد بیشینه شود.

ج) نمودار پاسخ قسمت ب را رسم کنید.

د)اگر این هواپیما بلا فاصله پس از پرتاب توپ در حالت الف با همان سرعت v وارد مسیر دایره ای به شعاع R در صفحه ای موازی با صفحه سطح زمین دور بزند فاصله نقطه فرود توپ نسبت به حالت قبل چقدر تغییر می کند؟  

 

جواب

ابتدا قسمت ب و ج را حل می کنیم و به عنوان حالت خاص برای الف عدد می دهیم:

می توان سرعت هواپیما را ضریبی از سرعت پرتابه  دانست

$$v=m v_0$$

اکنون سرعت پرتابه ار دید ناظر زمینی را در دو راستا بدسم می آوریم و طبق رابطه پرتابه بر حسب سرعت در دو راستا برد را پیدا می کنیم

$$v_x=v_0 cos(\theta)+m v_0$$

$$v_y=v_0 sin(\theta)$$

$$R=\frac{2v_x v_y}{g}$$

و نهایتا از برد بر حسب زاویه مشتق می گیریم و معادله ای را پیدا می کنیم

$$\frac{dR}{d\theta}=0$$

$$\rightarrow cos(2 \theta)+ m cos(\theta)=0$$

با کمی استقامت جواب های این معادله را بدست می آوریم و نمودار را رسم می کنیم

$$\theta = \pi -arccos(\frac{1}{4}(m+\sqrt{m^2+8}))$$

$$\theta=\pi-arccos(\frac{1}{4}(m-\sqrt{m^2+8}))$$

در نمودار محور عمودی زاویه بهینه بر حسب رادیان و محور افقی اندازه ضریب m است.

برای حالت الف فرض می کنیم که هواپیما ثابت باشد پس:

$$m=0 \rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$$

و برای قسمت د ...

در پست ها بعدی جواب را تکمیل می کنیم. ان شاء الله...