فرض کنید مطابق شکل یک میله در حال دوران حول نقطه انتهایی خود است. انرژی جنبشی این میله چقدر است؟ آیا می توان برای همه نقاط یک سرعت در نظر گرفت؟ برای حل این مسئله و تعمیم آن به همه اجسام دوار ابتدا از یک نقطه شروع می کنیم و برای هر قطعه انرژی جنبشی را می نویسیم:
$$K=\frac{1}{2}m_1v_1^2+...+\frac{1}{2}m_iv_i^2+...$$
این رابطه را می توان به این صورت نیز نوشت:
$$K=\Sigma \frac{1}{2}m_iv_i^2$$
می دانیم که همه نقاط این جسم دوار دارای سرعت زاویه ای یکسانی هستند پس:
$$v=r\omega$$
$$\Rightarrow K=\frac{\omega^2}{2}\Sigma m_ir_i^2$$
اکنون بیاید برای افزایش دقت این قطعات را به صورت ذرات بسیار ریز در نظر بگیریم. در این حالت داریم:
$$K=\frac{\omega^2}{2}\int r^2 dm=\frac{1}{2}I\omega^2$$
در اینجا I ممان اینرسی نامیده می شود و طبق تعریف بالا این گونه محاسبه می شود
$$I=\int r^2 dm$$
برای مثال ممان اینرسی این میله می شود:
$$I=\int_0^R r^2 dm=\lambda \int_0^R r^2 dr=\lambda \frac{R^3}{3}$$
$$M=\lambda R \rightarrow I=M\frac{R^2}{3} $$
در نتیحه انرژی جنبشی این میله برابر است با:
$$K=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{R^2}{6}M\omega^2$$
