• تعریف ریاضی دیورژانس

همانطور که در مطالب قبلی اشاره شد. اگر عملگر دل در تابعی اسکالر ضرب شود گرادیان نامیده می شود. حال اگر با توحه به تعریف این عملگر برداری، آن را در یک بردار به صورت ضرب نقطه ای ضرب کنیم به روابط زیر خواهیم رسید که به این صزب داخلی عملگر دل در تابع برداری دیورژانس می گویند.

همانگونه که ار روابط پیداست، باضرب کردن داخلی دو بردار در یک دیگر حاصل یک مقدار اسکالر (نرده ای) خواهد شد. پس همواره حاصل دیورژانس یک تابع یک مقدار اسکالر است. (دقت کنید که تنها از یک تابع برداری میتوان دیورژانس گرفت، طبق تغریف دیورژانس یک تابع نرده ای به معناست)

  • تعبیر هندسی دیورژانس:

دیورژانس در حقیقت مقیاسی برای ارزیابی واگرایی از یک نقطه خاص برای یک تابع برداری است. برای مثال مطابق شکل «الف» دارای دیورژانس مثبت است و اگر جهت فلش ها برعکس بود (به سمت داخل) دیورژانس تابع منفی می شد. به همین صورت در شکل «ب» دیورژانس صفر و در شکل «ج» هم دیورژانس تابع مثبت است.

فرض کنید که بردار مورد نظر نشان دهنده جهت جریان یک سیال مانند آب باشد. یک حوض کوچک را در نظر بگیرید که یک شیر ورودی و یک شیر خروجی دارد. اگر با مقداری خاک اره روی سطح آب بپاشیم مشاهده می کنیم که در اطراف شیر ورودی ذرات از هم فاصله می گیریند و در اطراف شیر خروجی ذرات به هم نزدیک می شوند. ظبق تعریف دیورژانس، مقدار دیورژانس تابع در اطراف ورودی مثبت و در اطرف خروجی حوض منفی است.

طبق آنجه در مطلب پیرامون گرادیان محاسبه شد، در دستگاه های استونه ای و کروی تغریف عملگر دل را می نویسیم و مقدار دیورژانس را برای یک تابع برداری دلخواه مشخص می کنیم. پس ابتدا برای دستگاه استوانه ای داریم: (میتوانید این محاسبات را خارج "به زبان ساده" در نظر بگیرید!) 

همچنین برای دستگاه کروی نیز می نویسیم:

منابع:

  1. مقدمه ریاضی کتاب الکترودینامیک گریفیث
  2. مقدمه ریاضی کتاب الکترومغناطیس نایفه

یرای فهم بهتر نحوه محاسبه در مختصات های متفاوت مطالعه این دو فایل توصیه می شود:

  1. مختصات  استوانه ای
  2.  مختصات کروی