تابعی ار سه متغیر مانند دما (T(x,y,z را در نظر بگیرید.( یک دستگاه مختصات را فرض کنید و برای هر نقطه یک دما در نظر بگیرید) در اینجا هدف تعمیم مفهوم مشتق برای توابعی است که تنها به یک متغیر وابسته نیستند

انتظار داریم که مشق، سرعت تغییرات تابع f را در قبال یک جابه جایى کوچک معلوم کند.اما این دفعه مسئله کمی پیجیده تر است زیرا این تغییرات بستگی به جهت جابه جایی، دارد: با حرکت مستقیم به سمت بالا ممکن است تغییرات تا حدودى سریع باشد اما مثلا اگر افقى حرکت کنبم امکان دارد که با هیچ تغییری مواجه نشویم. در واقع تعدادی نامتناهی پاسخ برای سرعت تغییرات (T(x,y,z وجود دارد. ولی با مشتقات جزئی می توان بیان کرد:

که این تابع تغییرات را در در هر سه راستا نشان می دهد. به همین ترتیب می توان با نوشتن ضرب داخلی هم همین مقدار را پییدا کرد:

عبارتی که دارای یک علامت دل (به فرم دلتای برعکس) است را گرادیان T می نامند. و این عملگر به تنهایی در مختصات دکارتی برابر است با:(دقت کنید نام این عملگر دل هست و زمانی که در کنار یک تابع اسکالر ظاهر شود، گرادیان آن تابع نامیده می شود. در غیر این صورت اگر این عملگر در توابع برداری ضرب شود اسامی دیگر مانند کرل و دیورژانس و ... می گیرد که در پست های بعدی به آن می پردازیم)

به عبارت دیگر، هنگامی که تغییر یک تابع نرده ای مانند (f(r را در مکان معلومی مانند r پیدا کنیم، با توشتن f و r در مولفه های دکارتی، تغییرات را از این طریق بدست می آوریم و مشابه قبل با تعریف عملگر برداری گرادیان، خواهیم داشت:

همچنین برای پیدا کردن رابطه گرادیان در دستگاه مختصات استوانه ای ابتدا مقدار dr را بازنویسی می کنیم و طبق تعریف بالا عبارت مربوط به گرادیان را تشکیل می دهیم:

سپس با توجه به تغریف اولیه df مقادیر بدست آمده را با هم برابر قرار می دهیم:

و نهایتا خواهیم داشت:(همانطور که اشاره شد. در وقع ما در اینجا نهایتا عبارت عملگر دل را در مختصات استوانه ای پیدا می کنیم) 

به همین ترتیب برای مختصات کروی نیز می نویسیم:

  • مثال:

اگر ارتفاع دره ای از رابطه زیر بدست بیاید، مکان قعر این دره (پایین تریین نقطه دره) را مشخص کنید:(برحسب متر)

  • جواب:

باید نقطه ای را باید مشخص کنیم که به نوعی مشتق این رابطه در آن صفر شود برای این کار گرادیان را محاسبه می کنیم و برابر با صفر قرار می دهیم:

در واقع شکل این دره به این صورت است:

 

منابع:

  1. مقدمه ریاضی کتاب الکترودینامیک گریفیث 
  2. مقدمه ریاضی کتاب الکترومغناطیس نایفه