- مسئله
یک ذره بار دار و یک ذره بدون بار همزمان در حالی که فاصله بسیار کمی از یکدیگر دارند با بردار سرعتی برابر عمود بر میدان مغنلطیسی (B(t شلیک می شوند. فاصله این دو ذره را برحسب زمان بیابید. میدان از این رابطه بدست می آید و آلفا بسیار کوچک است.(از اثر گرانش صرف نظر کنید)
$$B(t)=B_0(1+\alpha sin(\omega_0 t))$$
- جواب:
می دانیم ذره بار دار به سبب میدان مغناطیسی حرکت دایره ای انجام می دهد و ذره بدون بار مستقیم با همان سرعت اولیه به مسیر خود ادامه می دهد.
$$F=m\frac{v^2}{R} , F=qvB$$
$$\rightarrow R=\frac{mv}{qB}$$
نقطه B نشان دهنده ذره بدون بار و نقطه C نشان دهنده ذره بار دار است و زاویه ای که با رنگ سبز مشخص شده همان تتا است البته دقت کنید که میدان به سمت داخل است و به علت تغییرات میدان شعاع دایره ثابت نیست.
با توجه به هندسه مسئله داریم:
$$\Delta x=R sin(\theta)-vt$$
$$\Delta y=R(1-cos(\theta))$$
و نهایتا با جایگذاری مقدار میدان به جواب نهایی می رسیم:
$$R=\frac{mv}{qB_0}(1+\alpha sin(\omega_0 t))^{-1}=\frac{mv}{qB_0}(1-\alpha sin(\omega_0 t))$$
$$\omega=\frac{v}{R}=\frac{qB_0}{m}(1+\alpha(sin(\omega_0))$$
$$\vec{\Delta r}=\frac{mv}{qB_0}(1-\alpha sin(\omega_0 t)) (((sin(\omega t )-(vt))\vec{i}+(1-cos(\omega t)) \vec{j})$$
