• مسئله

یک نیم کزه کاملا همگن توسط یک طناب از بالا تزین نقطه نیم کره به شکلی نگه داشته شده است که با سطح زیرین در تماس است ولی نیرویی به آن وارد نمی کند. اگر پس از بریدن طناب این نیم کره بدون هیچ لغزشی بغلتد مقدار مینیمم ضریب اصطکاک را بیابید.(ممان اینرسی نیم کره: 2/5mR2 و مرکز جرم نیم کره برابر است با 3/8R)

(منبع: کتاب 300 مسئله)

 

  • جواب

با توجه به این که مسئله بیان کرده که به سطح زمین نیرویی وارد نمیشود برای پیدا کردن زوایا مرکز جرم نیم کره را دقیقا زیر محل اتصال طناب در نظر میگیریم تا مقدار نیروی عمودی سطح صفر شود.(می توانید با این فرض برای حالت تعادل گشتاور بنویسید و با توجه به صفر بودن شتاب زاویه ای از صفر بودن نیروی عمودی سطح مطمئن شوید)

 

با توجه به فاصله مرکز جرم و تصویر کردن طول ها برای پیدا کردن دو زاویه اصلی و طول شعاع دوران داریم:

در مرحله بعد با توجه به شکل مقدار و قانون دوم نیوتن، نیروی عمودی سطح و اصطکاک را بلافاصله بعد از بریدن طناب بدست می آوریم: 

برای محاسبه مقدار ممان اینرسی، ازآنجایی که نیم کره در این مسئله حول مرکز جرمش دوران میکند، با استفاده از قضیه محور های داریم:

اکنون پس از پیدا کردن شعاع دوران و ممان اینرسی، معادلات گشتاور را می نویسیم و اندکی ساده میکنیم:

از طرفی با توجه به تعریف اصطکاک برای آستانه لغزش می دانیم:

و نهایتا با جایگذاری مقادیر بدست آمده ضریب اصکاک را بدست می آوریم

پاسخگوی سوالات شما هستیم: تماس با ما